www.unendliches.net | Zenons Paradoxon

Zenons Paradox, der Beweis, dass jede Bewegung unmöglich ist.

Dieses Paradox des Zenon von Elea, eines griechischen Metaphysikers im 5. Jahrhundert v. Chr., ist das erste historisch belegte Beispiel für die nähere Untersuchung des Begriffs 'Unendlichkeit'. Zenon selbst hat entweder nichts veröffentlicht, oder seine Schriften sind verloren gegangen. So kennen wir seine Paradoxa lediglich aus ihrer Erwähnung in den Schriften anderer Philosophen, vor allem Aristoteles.

Ein Läufer will eine Distanz D zurücklegen. Um aber irgendeine Strecke zurückzulegen, muss er zunächst die halbe Strecke D/2 überwinden. Vom Rest der Strecke muss er wieder zunächst die Hälfte D/4 zurücklegen. Dies setzt sich ewig fort. Der Läufer erreicht zwar stets fast, aber nie vollständig sein Ziel, da immer noch eine unendliche Anzahl winziger Strecken vor ihm liegt. Da man dies auf jede Strecke und jede Bewegung beziehen kann, ist Bewegung unmöglich.

Von dem Paradox gibt es auch noch die etwas bekanntere Variante vom Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte. Interessanterweise störte es Zenon nicht weiter, dass seine Überlegungen offensichtlich im Widerspruch zur Wirklichkeit standen. Er teilte mit vielen griechischen Philosophen seiner Zeit die Ansicht, dass dann wohl an der Wirklichkeit etwas falsch sein müsse. Was natürlich im Lauf der Zeit verschiedene Einwände gegen das Paradox herausforderte.

Der erste und einfachste war der Einwand des Diogenes: Er hörte sich die Geschichte an und schritt dann stumm einmal um seine Behausung herum. Dass man auch eine unendliche Zahl von Strecken durchaus in endlicher Zeit zurücklegen kann, wurde durch die von ►John Wallis und anderen Mathematikern im 17. Jahrhundert entwickelte Arithmetik der Zahlenfolgen bewiesen. Die ►unendliche Summe D/2 + D/4 + D/8 + D/16 +. ergibt den endlichen Wert D, so dass Zenons Läufer trotz der unendlich vielen Strecken sein Ziel erreicht. Schließlich kann man das Paradox auch noch dadurch torpedieren, dass man die Annahme bezweifelt, Strecken seien unendlich unterteilbar. In der Tat lehrt die ►Unschärferelation, dass sie es nicht sind.

Aber all diese Einwände, mit denen auch manche Lehrbücher Zenons Paradox rasch abfertigen, gehen an der Sache vorbei. Denn es ist im Kern gar kein Paradox der Bewegung. Es ist vielmehr ein Paradox unserer Auffassung von Unendlichkeit: Um das Ziel einer Strecke zu erreichen, muss man die unendlich vielen Teilstrecken zurücklegen, aus denen sie besteht. Wie kann das sein, wenn es Teilstrecken 'ohne Ende' gibt - wenn also nach jeder Teilstrecke immer wieder eine neue kommt?

Hier kämpft das empirische Argument des Diogenes und das mathematische des John Wallis mit unserer intuitiven Auffassung des Unendlichen. Es war dieser Widerspruch, der Aristoteles zu seiner Ablehnung der aktualen Unendlichkeit brachte. An vielen Stellen im Lexikon trafen wir auf den Unterschied zwischen potentiell und aktual Unendlichem, doch hier hat er seinen Ursprung. Es existiert, so Aristoteles, eben keine Menge ohne Ende. Es existiert nur die potentielle Unendlichkeit in dem Sinne, dass man zu etwas immer noch etwas hinzufügen kann, oder dass man etwas immer noch weiter unterteilen kann. Aber eine aktuale Unendlichkeit, eine aus wirklich unendlich vielen Teilen bestehende Strecke, ist für das menschliche Verständnis nicht fassbar. Sie führt zu unlösbaren Paradoxa. Es darf sie nicht geben. Und damit steckt Zenons Paradox letztlich immer noch hinter allen Schwierigkeiten und Widersprüchen, die das Unendliche aufwirft.