Zahlenstrahl, Darstellung der Menge aller ►Reellen Zahlen in Form einer Linie.

Die Linie besteht aus unendlich vielen Punkten, von denen jeder einer Zahl entspricht. Was natürlich sofort die Frage aufwirft, wie aneinander gereihte Punkte, die ja selbst keine Ausdehnung haben, dennoch eine zusammenhängende und ausgedehnte Linie ergeben können. Diese Frage ist keineswegs trivial. Die Antwort: Es hängt von der Zahl der Punkte ab. Unendlich viele Punkte genügen nicht. Ihre Unendlichkeit muss höher als א0 sein (s. ►Kardinalzahlen), damit sich eine kontinuierliche und nicht nur eine unendlich fein gepunktete Linie ergibt.

Lücken auf dem Zahlenstrahl

In unserem obigen Ausschnitt sehen wir, wo die Ganzen Zahlen -1, 0, 1, 2, 3 liegen. Zwischen den Ganzen Zahlen liegen unendlich viele Brüche, d.h. Rationale Zahlen. Die Rationalen Zahlen liegen unendlich dicht beieinander - das bedeutet, dass der Abstand zwischen je zwei von ihnen beliebig klein ist. Dennoch klafft zwischen je zwei Rationalen Zahlen, egal wie dicht diese beieinander liegen, immer noch eine riesige Lücke. Diese Lücke wird von den Irrationalen Zahlen ausgefüllt. Nur diese machen aus dem Zahlenstrahl wirklich ein Kontinuum, d.h. eine zusammenhängende Linie.

Das Muster aus Rationalen und Irrationalen Zahlen ist unabhängig vom Größenmaßstab; es wiederholt sich in jeder Vergrößerung, mit der wir auf ein Teilstück des Strahls blicken. Diese Eigenschaft nennt man ►fraktal. Wie man sieht, hat die so einfach scheinende Zahlenlinie in Wirklichkeit eine höchst komplexe Struktur. Wir wissen mittlerweile, dass die Irrationalen Zahlen nicht ►abzählbar und damit eine Stufe (oder gar mehrere Stufen, s. Kontinuumshypothese) 'unendlicher' sind als die Ganzen und Rationalen Zahlen mit ihrer kleinstmöglichen Unendlichkeit א0. Daher treffen Sie, wenn Sie blind irgendeinen Punkt auf dem Zahlenstrahl antippen, stets eine Irrationale Zahl. Dass Sie eine Rationale oder gar eine Ganze Zahl erwischen, hat bei der Menge der Irrationalen Zahlen eine vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit*.


* Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Zahl irrational ist, beträgt 99,999...%. Dies aber ist identisch mit 100%; Beweis unter ►Cantor-Staub.

© Johann Christian Lotter   ■  Unendlichkeit  ■  BücherLinks  ■  Forum