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Russells Paradox, der Beweis, dass Cantors klassische Mengenlehre in sich widersprüchlich ist. Eine ►Menge wurde von ►Georg Cantor als Zusammenfassung von Elementen definiert. Zu diesen Elementen konnten natürlich auch Mengen selbst gehören. Der Mathematiker Bertrand Russell fand Anfang des 20. Jahrhunderts folgendes Paradox: "Es sei M die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Enthält die Menge M sich selbst?" Die Mengendefinition führt zu einem Widerspruch, da sich M nur dann selbst enthält, wenn sie sich nicht selbst enthält. Russell fand auch eine anschauliche Variante seines Paradoxons, das Barbier-Paradox: "Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, die sich nicht selbst rasieren. Wer rasiert dann den Barbier selbst?" Russell selbst versuchte das Mengen-Paradox durch die Aufgliederung von Mengen in Typen zu lösen. Mengen vom Typ I können nur einfache Elemente, jedoch keine Mengen enthalten. Mengen, die einfache Elemente und Typ-I-Mengen enthalten können, gehören zum Typ II, Mengen, die Typ-II-Mengen enthalten können, zum Typ III und so fort. Die Menge aller sich nicht selbst enthaltenden Mengen würde zum Typ ∞ gehören und ist in diesem System nicht definierbar. Russell publizierte seine Typentheorie in seinem berühmten Grundlagenwerk Principia Mathematica, das er zusammen mit A.N. Whitehead 1910 veröffentlichte. Heute verwenden Mathematiker das von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel 1922 neudefinierte axiomatische System der Mengenlehre, in dem das Russellsche Paradox nicht mehr auftritt.
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