Richards Paradox, ein Widerspruch bei der Beschreibung von Zahlen mit natürlicher Sprache; ähnlich, aber nicht identisch mit dem ►Berry-Paradox.

Jules Richard war ein Gymnasiallehrer in Dijon, der sich in seiner Freizeit mit Unendlichkeit und Zahlentheorie beschäftigte. 1905 schickte er einen Brief folgenden Inhalts an das damals führende französische Wissenschaftsmagazin:

Ich definiere eine Zahlenmenge M wie folgt: Wir schreiben alle möglichen Kombinationen von zwei Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge in eine Liste, dahinter alle Dreierkombinationen, ebenfalls alphabetisch sortiert, dann alle Viererkombinationen und so weiter. Dabei darf der selbe Buchstabe mehrfach auftreten. Um die Argumentation klarer zu gestalten, erlauben wir auch Satzzeichen und Leerzeichen. Für jede natürliche Zahl p finden wir also alle möglichen Kombinationen aus p Buchstaben, Satz- und Leerzeichen in der so entstandenen Liste. Da alles, was sich mit endlich vielen Worten schreiben läßt, eine Anordnung von Buchstaben ist, wird also alles, was man aufschreiben kann, in der Liste vorkommen.*

Da Zahlen mit Worten beschrieben werden können und diese aus Buchstaben bestehen, werden einige Einträge in der Liste Definitionen von Zahlen sein. Streichen wir alle Einträge, die nicht Definitionen ►reeller Zahlen sind. Sei nun u1 die vom ersten Listeneintrag definierte Zahl, u2 die an zweiter Stelle definierte Zahl, u3 die Zahl, die durch den dritten Eintrag beschrieben wird, und so weiter**. Dann hat man alle reellen Zahlen, die mit einer endlichen Zahl von Worten definiert werden können, in eine eindeutige Reihenfolge gebracht. Folglich bilden alle solchen Zahlen eine ►abzählbar unendliche Menge. Dies ist unsere Zahlenmenge M. Hier nun zeigt sich das Paradox. Man kann eine reelle Zahl bilden, welche nicht zur Menge M gehört:

"Wir bilden die Zahl N wie folgt. Die Stelle vor dem Komma sei 0, die n-te Stelle hinter dem Komma sei p+1, falls p ungleich 8 oder 9 ist, und sonst 1. Dabei ist p die n-te Nachkommastelle der n-ten Zahl in der Menge M."***

Die Zahl N gehört nicht zur Menge M, denn wäre sie irgendeine n-te Zahl der Menge M, so müsste auch ihre n-te Nachkommastelle mit der n-ten Nachkommastelle dieser Zahl übereinstimmen, was nach der obigen Konstruktion nicht der Fall ist. Andererseits ist die Zahl N definiert durch eine endliche Anzahl von Worten, nämlich denen, die oben in Anführungszeichen stehen. Also müsste sie nach der Definition durchaus zur Menge M gehören.

Richard lieferte auch gleich die Auflösung seines Paradoxons. Die in Anführungszeichen stehende Beschreibung der Zahl N ist gar keine vollständige Definition und kann deshalb auch nirgends in der Liste auftauchen. Sie bedarf nämlich der Menge M, und diese ist erst dann definiert, wenn die Liste komplett ist. Somit haben wir einen Zirkelschluss, eine ►Rekursion. Um diese zu vermeiden, darf die Menge M selbst zur Definition eines ihrer Elemente nicht herangezogen werden.

Hier erging es jedoch Richard nicht besser als ►Olbers: Sein Paradox erlangte rasch Berühmtheit, seine Auflösung jedoch rief Widersprüche hervor. Der Mathematiker Peano hielt die Definition der Zahl N für vollkommen korrekt, auch wenn sie eine Rekursion erfordert. Laut Peano liegt das Problem in der Ungenauigkeit der natürlichen Sprache. Jede Definition verwendet ein bestimmtes Vokabular, das wiederum zur Definition einer Metasprache bedarf. Somit sind natürliche Sprachen nie zirkelfrei - was die Ursache all ihrer Paradoxa ist.


* Die an anderer Stelle erwähnte ►Bibliothek von Babel ist nur ein kleiner Bereich dieser Liste, nämlich der mit p = 1312000, allerdings in ungeordneter Form.

** Im Deutschen wäre etwa u1 = 11, u2 = 8, u3 = 3. Der Beweis sei als Übung dem Leser überlassen.

*** Die Zahl N beginnt also in der deutschen Liste mit 0,111...

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