Primzahlen

Primzahl (v. lat. primum "das Erste"), eine Natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat. Was bedeutet, dass sie größer als 1 sein muss und nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.

Die Primzahlen konstruieren zusammen mit der 1 sämtliche ►Natürlichen Zahlen, denn jede lässt sich auf eindeutige Weise durch Multiplikation von Primzahlen bilden. Der griechische Mathematiker ►Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Andernfalls ließe sich nämlich eine Zahl N aus dem Produkt aller existierenden Primzahlen plus 1 bilden. Diese Zahl ist aber wieder eine Primzahl, denn bei Teilung durch jede Primzahl bleibt stets der Rest 1. Also kann die Anzahl der Primzahlen nicht endlich sein.

Primzahlen scheinen primitiv. Dennoch ist ihre Verteilung auf dem ►Zahlenstrahl ein großes Rätsel der Mathematik. Sie scheint irgendwelchen Regeln zu folgen, deren genaue Natur Mathematiker jedoch bisher noch nicht herausgefunden haben. Falls Sie selbst in dieser Richtung forschen wollen, finden Sie hier die Verteilung der Primzahlen unter den ersten 150 Zahlen:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
100	101	102	103	104	105	106	107	108	109
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119
120	121	122	123	124	125	126	127	128	129
130	131	132	133	134	135	136	137	138	139
140	141	142	143	144	145	146	147	148	149

Außer in der ersten Reihe müssen Primzahlen stets mit 1, 3, 7 oder 9 enden, sonst wären sie durch 2 oder 5 teilbar. Wenn man sich das Muster einzelner Spalten anschaut, scheinen Regelmäßigkeiten sichtbar zu werden, nur um irgendwann wieder zu verschwinden. Man kann beweisen, dass die Primzahlen hin zu größeren Zahlen immer dünner gesät sind. In der Verteilung fällt auf, dass viele Primzahlen paarweise auftreten, in einem Abstand von 2 (etwa 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, 29 und 31.). Diese Primzahl-Zwillinge gibt es sogar bei sehr großen Primzahlen. Allerdings hat noch niemand bisher (2008) herausgefunden, ob unendlich viele Primzahl-Zwillinge existieren. Ebenfalls unbewiesen seit über 400 Jahren ist die Goldbachsche Vermutung, dass jede gerade Zahl stets die Summe zweier Primzahlen (inbegriffen der 1) ist. Man hat bisher kein einziges Gegenbeispiel gefunden, doch der Beweis für sämtliche geraden Zahlen steht noch aus.

Es gibt keine mathematische Formel zur Berechnung der nächstgrößeren Primzahl aus einer gegebenen Zahl. Dies macht das Auffinden von Primzahlen schwierig. Es ist mehr oder weniger eine Sache des gezielten Ausprobierens und erfordert ausgeklügelte Computerprogramme. Der augenblickliche (2008) Rekord steht bei

Das ist eine Primzahl mit 12978189 Stellen, entdeckt im September 2008 vom GIMPS Projekt der Universität von Kalifornien. Das Suchen von Primzahlen ist übrigens beileibe keine brotlose Kunst. Man braucht sie für Kryptographieverfahren. Für die erwähnte Rekordprimzahl kassierten die Organisatoren des Projekts ein von der ►Electronic Frontier Foundation in San Francisco ausgeschriebenes Preisgeld von 100.000 US-$.