Kontinuumshypothese, die Vermutung des Mathematikers Georg Cantor, dass die Unendlichkeit der ►Reellen Zahlen nach der Unendlichkeit der Natürlichen Zahlen die zweitkleinste Unendlichkeit ist. Als Gleichung ausgedrückt:
Was es mit dieser Gleichung und den seltsamen Symbolen auf sich hat, finden Sie unter ►Kardinalzahlen näher erklärt.
Wie man in ►Cantors Biographie nachlesen kann, scheiterte er dramatisch am Beweis der Kontinuumshypothese und bezahlte dafür einen hohen Preis. Seine Kontinuumshypothese wurde Anfang des 20. Jahrhunderts zu einem der bekanntesten ungelösten Probleme der Mathematik. Viele Mathematiker bissen sich daran die Zähne aus. Zumindest bis 1930.
In diesem Jahr bewies der Logiker Kurt Gödel seinen Unvollständigkeitssatz*. Jedes ausreichend komplexe widerspruchsfreie Aussagensystem, so der Satz, ist unvollständig. Das heißt, in einem solchen System gibt es Aussagen, die sich mit den Mitteln des Systems weder beweisen noch widerlegen lassen. Dies ist analog zu dem unter ►Wahrheit angeführten Beweis, dass es keine universelle Wahrheitsmaschine geben kann. Der Unvollständigkeitssatz gilt insbesondere für die Mathematik und natürlich auch für das System der Mengenlehre.
Alle Mathematik ist unvollständig
Gödel bewies diesen Satz auf abstrakte Weise, also ohne ein konkretes Beispiel für eine solche prinzipiell unbeweisbare Aussage zu kennen. Es lag nun nahe, sich der ungelösten Probleme der Mathematik anzunehmen und zu untersuchen, ob vielleicht eines dieser Probleme eine solche Aussage enthält. Genau das tat Gödel. Sein erster Verdächtiger war die Kontinuumshypothese.
1937 gelang es ihm zu beweisen, dass sich die Kontinuumshypothese im Rahmen der Mengenlehre nicht widerlegen lässt. Sie ist also mit allen Sätzen der Mengenlehre vereinbar. Das heißt noch nicht, dass sie bewiesen ist. Dazu müsste man zusätzlich nachweisen, dass ihr Gegenteil mit den Sätzen der Mengenlehre nicht vereinbar ist.
Gödel kam mit der Kontinuumshypothese nicht weiter. Erst 1963 konnte Paul Cohen nachweisen, dass auch ihr Gegenteil widerspruchsfrei zur Mengenlehre ist. Die Kontinuumshypothese ist damit im System der klassischen Mengenlehre unentscheidbar - weder wahr noch falsch. Sie ist eines der ersten konkreten Beispiele für Gödels Unvollständigkeitssatz. Cantor hatte also mit all seinen Beweisversuchen im 19. Jahrhundert nie eine Chance.
Die dritte Stufe der Unendlichkeit
Inzwischen überlegen sich Mathematiker, durch eine sinnvolle Erweiterung der Mengenlehre die Kontinuumshypothese entscheidbar zu machen. Man ist jedoch davon abgekommen, sie in Cantors ursprünglicher Version aufzunehmen. Cohen ist sich mit vielen Mathematikern einig, dass die Menge der Reellen Zahlen dermaßen groß ist, dass sie eigentlich nicht die zweitkleinste Unendlichkeit darstellen kann. Also sollte die Kardinalzahl des Kontinuums größer sein als א1, um eine vernünftig handhabbare Mengenlehre zu erhalten. In der weiteren Entwicklung der Mengenlehre tendiert man daher mittlerweile zu der Aussage
was natürlich sofort die Frage aufwirft, welcher Menge denn dann die zweite Stufe der Unendlichkeit, also die Kardinalzahl א1 entspricht...
* Die für Nichtmathematiker am besten verständliche Version des etwas länglichen Beweises finden Sie in "Gödel, Escher, Bach" von Douglas Hofstadter (s. Literaturverzeichnis).