Kardinalzahlen, Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit von Mengen. Das Symbol Alef, der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets, wurde von Georg Cantor als Symbol für unendliche Kardinalzahlen eingeführt.

Die unendlichen Kardinalzahlen hängen eng zusammen mit einem der größten Rätsel der Mathematik des 19. und 20. Jahrhunderts, nämlich der ►Kontinuumshypothese. Um zu verstehen, was es damit auf sich hat, folgt hier eine kurze Schritt-für-Schritt-Einführung in die Mengenlehre. Nützlich ist es auch, den Artikel ►Abzählbarkeit gelesen zu haben.

Eine Menge ist eine gedankliche Zusammenfassung bestimmter Elemente, wie etwa Zahlen. Man schreibt Mengen in geschweiften Klammern, die Menge der drei Zahlen 3, 4, 5 zum Beispiel schreibt man 3, 4, 5 }. Stellen Sie sich die Mengenklammern einfach wie eine Gedankenblase vor, die die drei Elemente 3, 4, 5 zusammenhält.

Eine Menge kann endlich, aber auch unendlich viele Elemente enthalten. In diesem Lexikon interessiert natürlich vor allem letzteres. Die Menge der Natürlichen Zahlen zum Beispiel ist unendlich (s. ►Abzählbarkeit). Die unendliche Fortsetzung der Zahlen deuten wir mit drei Punkten .  an:

Als Kardinalzahl oder Mächtigkeit einer Menge bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente. Als Eselsbrücke kann man sich vorstellen, dass Kardinäle umso mächtiger sind, je größer die Menge ihrer Anhänger ist. Die Menge { 3, 4, 5 } etwa hat drei Elemente und somit die Kardinalzahl 3.

Eine Teilmenge einer Menge ist eine Menge, die irgendeine Auswahl der Elemente dieser Menge enthält - inklusive gar keinem oder allen. Bei der Menge { 3, 4, 5 } gibt es also die acht möglichen Teilmengen { }, { 3 }, { 4 }, { 5 }, { 3, 4 }, { 4, 5 }, { 3, 5 } und 3, 4, 5 }. Die Menge ohne Element { } nennt man 'leere Menge'.

Eine Menge mit der Kardinalzahl n hat genau 2n Teilmengen. Denn es gibt genau 2n Möglichkeiten, eine Auswahl aus n Elementen zu treffen. In unserem 3, 4, 5 } Beispiel bekommen wir also 23 = 8 Teilmengen.

Zu jeder Menge lässt sich immer eine größere Menge konstruieren, nämliche deren Potenzmenge. Die Potenzmenge einer Menge ist einfach die Menge all ihrer möglichen Teilmengen. Im 3, 4, 5 } Beispiel ist die Potenzmenge also die folgende Menge: { { }, { 3 }, { 4 }, { 5 }, { 3, 4 }, { 4, 5 }, { 3, 5 }, 3, 4, 5 } }.

Wenn eine Menge die Kardinalzahl n hat, dann hat ihre Potenzmenge gemäß unserer obigen Überlegung die Kardinalzahl 2n. Potenzmengen sind, wie man sieht, viel größer als ihre Ursprungsmengen und haben viel höhere Kardinalzahlen. Dies wird sich im Folgenden noch als bedeutsam herausstellen.

Soviel zur allgemeinen Mengenlehre. Jetzt kommen wir zu Cantors unendlichen Mengen und ihren Alef-Zahlen. Die Kardinalzahl der Menge der ►Natürlichen Zahlen bezeichnete Cantor mit dem Symbol א0 (ausgesprochen: Alef-Null). Dies ist die wichtigste Kardinalzahl, denn alle ►abzählbaren Mengen haben automatisch ebenfalls die Kardinalzahl א0, da sie ja gleich viele Elemente wie die Menge der Natürlichen Zahlen enthalten. In manchen mathematischen Darstellungen wird die Anzahl der Natürlichen Zahlen auch als Naleph ("naives Aleph", für die einfachste Art der Unendlichkeit) bezeichnet.

Cantor vermutete, dass Mengen noch 'höherer' Unendlichkeit mit entsprechend größeren Kardinalzahlen existieren. Die nächsthöhere mögliche Kardinalzahl nannte er folgerichtig א1 (Alef-Eins). Je nachdem, wie viele Stufen der Unendlichkeit existieren, gibt es weitere Alef-Zahlen א2, א3, א4 usw., von denen jede größer ist als die vorhergehende und der nächsthöheren Stufe der Unendlichkeit entspricht. Zu welchen konkreten Mengen diese im Moment noch völlig theoretischen Kardinalzahlen gehören können, wollen wir uns gleich überlegen.

Die Alef-Zahlen folgen seltsamen Rechenregeln, die eine Folge ihrer Unendlichkeit sind. Zum Beispiel gilt für jede unendliche Kardinalzahl א:

In Worten: Wenn man einer unendlichen Menge ein Element hinzufügt, ändert dies nichts an der Zahl der Elemente dieser Menge. Unendlich plus eins gibt wieder unendlich. Das gleiche gilt, wenn man zwei, drei, oder sogar unendlich viele Elemente hinzufügt:

Warum das so ist, können wir beim Zurückblättern unter ►Abzählbarkeit sehen: Wenn man beispielsweise zur Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen hinzufügt, also die Zahl ihrer Elemente und damit ihre Kardinalzahlen addiert, erhält man die Menge der Natürlichen Zahlen. Aber alle drei Mengen haben die gleiche Kardinalzahl, da sie ja abzählbar sind, d.h. gleich viele Elemente wie die Natürlichen Zahlen enthalten. Also ändert das Verdoppeln einer unendlichen Menge nichts an der Zahl ihrer Elemente, ebenso wenig wie das Verdreifachen und sogar das Vervielfachen mit einer beliebigen endlichen Zahl a:

Kühn geworden, wollen wir die Menge jetzt unendlich oft vervielfachen. Wir ersetzen dazu jedes einzelne ihrer Elemente durch die komplette Menge. Wie man sich überlegen kann, ist dies gleichbedeutend mit einer Multiplikation ihrer Kardinalzahl mit sich selbst. Doch wieder ändert dies nichts an der Zahl ihrer Elemente:

Das Äquivalent zu dieser Formel ist nichts anderes als die ►Abzählbarkeit der Brüche. Denn zu jeder Natürlichen Zahl n gibt es genauso viele Brüche, wie Natürliche Zahlen existieren: n/1, n/2, n/3,. usw. Folglich entspricht die Multiplikation der Kardinalzahl mit sich selbst dem Übergang von der Menge der Natürlichen Zahlen zur Menge der Brüche. Eine unendliche Menge enthält sogar beliebig oft mit sich selbst multipliziert immer wieder gleich viele Elemente:

Jetzt stellt sich die nahe liegende Frage, ob denn etwa jede beliebige Rechenoperation mit א immer wieder א ergibt?  Die Antwort: Nein, nicht jede. Denn Cantor zeigte:

2א ist noch größer als א! Wir erinnern uns: 2א ist die Kardinalzahl der Potenzmenge einer Menge mit der Kardinalzahl א. Die Kardinalzahl einer Potenzmenge aber ist immer größer als die Kardinalzahl der ursprünglichen Menge - und wie Cantor bewies, gilt das sogar für unendliche Mengen. Die Potenzmenge jeder unendlichen Menge ist also noch 'unendlicher' als diese selbst.

Damit hatte Cantor bewiesen, dass es wirklich eine Folge von Alef-Zahlen א0, א1, א2, usw. gibt. Denn da man zu jeder beliebigen unendlichen Menge immer eine Potenzmenge bilden kann und zu dieser dann wiederum eine Potenzmenge, gibt es keine Obergrenze für die Alef-Zahlen. Die Folge der Alefs und damit die Anzahl der verschiedenen Unendlichkeiten ist selbst unendlich!


Außer der Menge der Natürlichen Zahlen mit ihrer Kardinalzahl א0  kennen wir noch die Menge der ►Reellen Zahlen. Das sind alle Zahlen mit einer beliebigen Zahl von Nachkommastellen. Wir wissen, dass diese Menge nicht ►abzählbar und damit 'unendlicher' ist als die Menge der Natürlichen Zahlen. Preisfrage: Wie groß ist die Kardinalzahl der Menge der Reellen Zahlen?

Cantor zeigte, dass diese Kardinalzahl gerade 2א0 ist, also identisch mit der Kardinalzahl der Potenzmenge der Natürlichen Zahlen. Das kann man sich mit folgender Überlegung verdeutlichen: Die Potenzmenge der Natürlichen Zahlen enthält alle denkbaren Teilmengen mit jeweils höchstens abzählbar unendlich vielen Zahlen. Die Menge der Reellen Zahlen enthält alle denkbaren Zahlen mit jeweils höchstens abzählbar unendlich vielen Nachkommastellen. Beide Mengen sind also vergleichbar in der Zahl ihrer Elemente.

Wir haben also jetzt zwei unendliche Kardinalzahlen gefunden, die zu konkreten Mengen gehören, nämlich א0 - die kleinste Alef-Zahl und zugleich die Kardinalzahl der Menge der Natürlichen Zahlen - und 20א, die Kardinalzahl der Menge der Reellen Zahlen.

Zum Abschluss dieses Kardinalzahlen-Exkurses stellt sich die nahe liegende Frage, ob 2 denn die zweitkleinste mögliche unendliche Kardinalzahl ist, ob also gilt:

Oder gibt es noch irgendeine unendliche Menge, deren Kardinalzahl zwar größer ist als א0, aber kleiner als 20א? Diese scheinbar einfache Frage hatte dramatische Konsequenzen für Georg Cantor selbst und für die Mathematik des 20. Jahrhunderts. Die Antwort ist überraschend. Sie finden sie unter Kontinuumshypothese.


 

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