Infinitesimalrechnung (auch Analysis), das Rechnen mit unendlich kleinen Zahlen.

Die Infinitesimalrechnung wurde im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander von Gottfried Leibniz und Isaac Newton entwickelt, um die Bewegung von Körpern zu berechnen. Beide kamen mit verschiedenen Ansätzen zu den gleichen Ergebnissen. Leibniz gelangte zu seiner Erkenntnis, indem er eine mathematische Kurve - etwa die grafische Darstellung einer Geschwindigkeit - als Menge unendlich vieler unendlich kleiner Punkte betrachtete. Newton hingegen sah die gleiche Kurve repräsentiert durch aneinander gesetzte Tangenten, d.h. Steigungen an all ihren Punkten.

      
Leibniz und Newton - Kontrahenten der Infinitesimalrechnung

Beide Mathematiker lieferten sich später einen heftigen Prioritätsstreit. Da Leibniz schneller mit dem Veröffentlichen seiner Ergebnisse war und zudem klarer und verständlicher schrieb als Newton, hat sich in der Mathematik weitgehend seine Symbolik der Infinitesimalrechnung durchgesetzt. Auch der Begriff 'Infinitesimalrechnung' geht auf ihn zurück, während Newton seine Variante Fluxionsrechnung nannte.

Die Infinitesimalrechnung stellte eine Revolution der Mathematik dar und produzierte bald weitere Revolutionen in Naturwissenschaft und Technik. Während Mathematiker früher für jedes einzelne Problem mühsam eine Einzellösung finden mussten, besaßen sie nun ein mächtiges Allround-Werkzeug. Mathematische und technische Probleme, an denen man sich zuvor die Zähne ausgebissen hatte, ließen sich jetzt im Handumdrehen auf einem Blatt Papier lösen.

Die grundlegende Idee war, das Verhalten mathematischer Funktionen bei unendlich kleinen Veränderungen zu untersuchen. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion f(x) = x². Wir wollen daraus eine neue Funktion f'(x) ermitteln, die für jeden Wert x die Steigung von f(x) angeben soll. Der Mittelwert der Steigung in einem Bereich der Größe d, also von x bis x+d, ergibt sich durch Dividieren der Abschnitte auf den x- und y-Achsen:

Soweit nichts Neues. Die Steigung hängt nicht nur von x, sondern auch von der Intervalllänge d ab. Damit haben wir noch keine Funktion f'(x), die ja nur von x abhängen soll. Die bahnbrechende Idee war nun anzunehmen, d sei eine infinitesimale Zahl, also unendlich klein. Dann ist das Ergebnis

weil das unendlich kleine d gegenüber dem endlichen Wert 2x vernachlässigt werden kann. Diese Ableitung der Funktion f(x) = x2 ist vielen noch vom Schulunterricht her in mehr oder weniger guter Erinnerung.

Obwohl die Argumentation zum Weglassen von d in der letzten Gleichung intuitiv einleuchtet und seit Hunderten von Jahren stets richtige Ergebnisse liefert, ist sie mathematisch nicht korrekt. Denn d wird zunächst als ungleich Null betrachtet (wir teilen durch d) und trotzdem später so behandelt, als sei es gleich Null. Mit diesem Einwand kann man schon in der Schule den Mathelehrer zur Verzweiflung bringen, wenn er bei der Erklärung der Infinitesimalrechnung schlampig vorgegangen war. In der Tat wurde die Verwendung von Zahlen, die zwar unendlich klein, aber nicht Null sind, von dem irischen Bischof George Berkeley in seinem Pamphlet A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (Abhandlung an die Adresse eines ungläubigen Mathematikers, 1734) bald nach ihrer Erfindung als absurd kritisiert.

Erst im 19. Jahrhundert erhielt die Infinitesimalrechnung eine mathematisch strenge formale Form. Die Mathematiker Cauchy, Weierstraß und Dedekind führten Grenzwertbetrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Zahlen überflüssig machten. Dabei wurde das ►aktual Unendliche dieser Zahlen durch das ►potentiell Unendliche ersetzt:

1960 wurden in der ►Nichtstandardanalysis von Abraham Robinson die Reellen Zahlen um eine Zahlenmenge erweitert, die auch die infinitesimalen Zahlen in formal korrekter Form enthält. In dieser Analysis ist die obige Ableitung von f(x) auch ohne Grenzwertbetrachtung eine mathematisch korrekte Methode.


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