Galileis Paradox, Behauptung, dass es gleich viele Quadratzahlen wie Natürliche Zahlen gibt, obwohl die Quadratzahlen eine Untermenge der Natürlichen Zahlen bilden.

Das Paradox wurde von dem italienischen Gelehrten Galileo Galilei um 1590 veröffentlicht. Es erschreckte ihn anscheinend so, dass er darauf von der weiteren Erforschung des Unendlichen abließ. Da man jeder Quadratzahl ihre ganzzahlige Wurzel zuordnen kann, lassen sich zwei einander äquivalente unendliche Mengen bilden:

Menge A (Natürliche Zahlen):    { 1, 2, 3,  4,  5,   6,   7,  . }

Menge B (quadratische Zahlen): { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . }

Obwohl Menge B eine Teilmenge von A ist, haben beide Mengen offensichtlich gleich viele Elemente. Denn jedem Element der Menge A lässt sich genau ein Element der Menge B zuordnen und umgekehrt. Diese Eigenschaft wird in der modernen Mengenlehre zur Definition unendlicher Mengen genutzt: Eine Menge ist dann unendlich, wenn es eine eindeutige Zuordnung zwischen ihren Elementen und denen einer ihrer echten Teilmengen gibt (s. auch ►Abzählbarkeit).


 

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