Fraktal (v. lat. fractus "gebrochen"), ein Objekt unendlicher Rauhigkeit.
Die Struktur eines fraktalen Objekts wiederholt sich in der Vergrößerung. Ideale Fraktale lassen sich beliebig stark vergrößern, ohne dass irgendwann ihre Struktur verloren geht und sie 'glatt' werden. Sie haben demzufolge eine unendlich raue Struktur oder Oberfläche.
Der Begriff 'Fraktal' wurde 1975 von dem Mathematiker Benoit Mandelbrot geprägt. Mandelbrots berühmtes Beispiel ist die Mandelbrot-Menge (s. Abbildung), die Menge aller Zahlen c, bei denen die Mandelbrot-Funktion M(n,c) mit wachsendem n nicht über alle Grenzen wächst. Die Mandelbrot-Funktion ist eine rekursive ►Funktion, die folgendermaßen definiert ist:
M(0,c) = 0
M(n,c) = M(n-1,c)2 + c
c ist eine Komplexe Zahl, die aus zwei Zahlenkomponenten zusammengesetzt ist, nämlich einer Reellen Zahl und einem Vielfachen der Quadratwurzel aus -1. Das Bild oben stellt den Wert der Mandelbrot-Funktion als Graufärbung im Bereich (-1,5..0,5) und (-1..1) der beiden Zahlenkomponenten von c dar. Die knollenförmigen Strukturen am Rand enthalten verkleinerte Kopien der Mandelbrot-Menge. Aus jeder Knolle wachsen wiederum kleinere Knollen. Jeder Randausschnitt enthält somit in beliebiger Vergrößerung unendlich viele dieser Knollen. Diese für fraktale Mengen typische Eigenschaft nennt man 'Selbstähnlichkeit'. Wie man sieht, kann man mit der sehr einfachen Funktion komplizierte und schön anzusehende Bilder erzeugen.
Es gibt viele mathematische Funktionen, die fraktale Kurven erzeugen, indem sie Teile einer Figur rekursiv durch die Figur selbst ersetzen. Jedoch gibt es auch Fraktale außerhalb der Mathematik. Wer sich einmal einen Romanesco (s. Abbildung) vor dem Verspeisen genauer angesehen hat, erkennt typische fraktale Strukturen. Die Oberfläche des Romanesco besteht aus spiralförmig angeordneten Knollen, die aus spiralförmig angeordneten Knollen bestehen, die wiederum aus spiralförmig angeordneten Knollen bestehen.
Fraktales Gemüse
Mit Fraktalen kann man kühne Behauptungen beweisen, etwa "Die Länge der Küstenlinie von Norwegen ist unendlich". Wie man weiß, hat Norwegen eine sehr zerklüftete Küste mit vielen Fjorden - ein guter Kandidat für ein Fraktal. In der Tat enthalten die Fjorde wiederum Seitenfjorde, die sich in Seiten-Seitenfjorde verzweigen, und so fort. Je genauer man den Küstenverlauf betrachtet, umso größer ist die Länge, die man erhält - bis hin zu den mikroskopischen Rissen in dem Felsgestein am Ufer. Wäre nicht die endliche Korngröße des Gesteins und schließlich die endliche Atomgröße, hätte Norwegen wirklich eine unendliche Küste.