Dedekind'scher Schnitt, eine Methode, um die ►Reellen Zahlen aus den Rationalen Zahlen zu konstruieren.

Der Mathematiker Richard Dedekind erfand diese Konstruktionsmethode gegen Ende des 19. Jahrhunderts. Nehmen wir an, wir wollen die Wurzel aus 2 konstruieren, die keine Rationale Zahl ist, d.h. nicht durch einen Bruch ausgedrückt werden kann*. Sicherlich lassen sich Brüche finden, deren Quadrat sich von 2 immer weniger unterscheidet. Wir können also** eine aufsteigende unendliche Folge von Brüchen bilden, deren Quadrate zwar stets kleiner sind als 2, sich aber - wenn wir weit genug fortschreiten - sich von der 2 um weniger als jeden vorgegebenen Betrag unterscheiden. Angenommen, wir setzen einen winzigen Betrag, etwa ein Billionstel, fest, so werden von einem bestimmten Element unserer Folge an, etwa vom zehnten, alle Elemente Quadrate haben, die sich von 2 um weniger als ein Billionstel unterscheiden. Ebenso können wir eine fallende unendliche Folge von Brüchen bilden, deren Quadrate zwar stets größer sind als 2, sich aber von der 2 früher oder später um weniger als irgendeinen beliebig kleinen Betrag unterscheiden.

Auf diese Weise haben wir scheinbar die Wurzel aus 2 von oben und unten umzingelt. Man kann sich schwer vorstellen, dass sie uns immer weiter entschlüpfen wird. Trotzdem können wir auf diese Weise die Quadratwurzel aus 2 tatsächlich nicht erreichen.

Das Quadrat jedes Bruches ist entweder größer oder kleiner als 2. Teilen wir nun alle Brüche in zwei Klassen, je nachdem, ob ihre Quadrate kleiner als 2 sind oder nicht. Die Brüche, deren Quadrate kleiner sind als 2, haben kein Maximum, und die Brüche, deren Quadrate größer sind, kein Minimum. Die Differenz zwischen den Brüchen, deren Quadrat größer, und denen, deren Quadrat kleiner ist als 2, besitzt keine untere Grenze außer der Null. Zwischen den beiden Klassen - da, wo sein sollte - ist nichts. Obwohl wir unsere Einschnürung so dicht wie möglich gemacht haben, haben wir die Wurzel aus zwei nicht gefangen.

Die obige Methode aber, alle Elemente einer Folge in zwei Klassen einzuteilen, von denen die eine vollständig vor der anderen kommt, heißt Dedekind-Schnitt. Ein solcher Schnitt der Rationalen Zahlen stellt eine vollständige Definition der in der 'Lücke' liegenden Reellen Zahl dar, enthält diese jedoch nicht.


* Beweis: Angenommen,  ließe sich als Bruch n/m darstellen. Mindestens eine der Zahlen m oder n muss ungerade sein, sonst ließe sich der Bruch weiter kürzen. Quadrieren ergibt 2 = n2/m2 und somit  n2 = 2m2. Da 2m2 eine gerade Zahl ist, muss auch n2 und damit auch n gerade sein. Denn wäre n ungerade, ließe sich n als 2k+1 schreiben; (2k+1)2 ist aber 4k2+2k+1 und somit immer ungerade. Daher ist n = 2k und n2 = 4k2 = 2m2, also 2k2 = m2, somit muss auch m gerade sein. Das ist ein Widerspruch. Also lässt sich  nicht als Bruch n/m darstellen.

** Die Darstellung ist eine gekürzte Version aus Bertrand Russels Einführung in die mathematische Philosophie (1919).

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