Dedekind'scher Schnitt, eine Methode, um die ►Reellen Zahlen aus den Rationalen Zahlen zu konstruieren. Der Mathematiker Richard Dedekind erfand diese Konstruktionsmethode gegen Ende des 19. Jahrhunderts. Nehmen wir an, wir wollen die Wurzel aus 2 konstruieren, die keine Rationale Zahl ist, d.h. nicht durch einen Bruch ausgedrückt werden kann*. Sicherlich lassen sich Brüche finden, deren Quadrat sich von 2 immer weniger unterscheidet. Wir können also** eine aufsteigende unendliche Folge von Brüchen bilden, deren Quadrate zwar stets kleiner sind als 2, sich aber - wenn wir weit genug fortschreiten - sich von der 2 um weniger als jeden vorgegebenen Betrag unterscheiden. Angenommen, wir setzen einen winzigen Betrag, etwa ein Billionstel, fest, so werden von einem bestimmten Element unserer Folge an, etwa vom zehnten, alle Elemente Quadrate haben, die sich von 2 um weniger als ein Billionstel unterscheiden. Ebenso können wir eine fallende unendliche Folge von Brüchen bilden, deren Quadrate zwar stets größer sind als 2, sich aber von der 2 früher oder später um weniger als irgendeinen beliebig kleinen Betrag unterscheiden. Auf diese Weise haben wir scheinbar die Wurzel aus 2 von oben und unten umzingelt. Man kann sich schwer vorstellen, dass sie uns immer weiter entschlüpfen wird. Trotzdem können wir auf diese Weise die Quadratwurzel aus 2 tatsächlich nicht erreichen. Das Quadrat jedes Bruches ist entweder größer oder kleiner als 2. Teilen wir
nun alle Brüche in zwei Klassen, je nachdem, ob ihre Quadrate kleiner
als 2 sind oder nicht. Die Brüche, deren Quadrate kleiner sind als 2, haben
kein Maximum, und die Brüche, deren Quadrate größer sind, kein Minimum. Die
Differenz zwischen den Brüchen, deren Quadrat größer, und denen, deren
Quadrat kleiner ist als 2, besitzt keine untere Grenze außer der Null. Zwischen
den beiden Klassen - da, wo Die obige Methode aber, alle Elemente einer Folge in zwei Klassen einzuteilen, von denen die eine vollständig vor der anderen kommt, heißt Dedekind-Schnitt. Ein solcher Schnitt der Rationalen Zahlen stellt eine vollständige Definition der in der 'Lücke' liegenden Reellen Zahl dar, enthält diese jedoch nicht. * Beweis: Angenommen, ** Die Darstellung ist eine gekürzte Version aus Bertrand Russels Einführung in die mathematische Philosophie (1919).
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