Dimension, Zahl der Freiheitsgrade eines Systems. Die Dimensionszahl eines Raums hängt davon ab, wie viele Zahlenwerte zur vollständigen Angabe einer Position benötigt werden.

Ein eindimensionaler Raum ist eine Linie, bei der eine einzige Zahl genügt, um eine Position auf dieser festzulegen. Ein Beispiel ist die Kilometerzahl auf einer Autobahn. Eine Ebene hat zwei Dimensionen und erfordert zwei Zahlen zur Festlegung der Position - etwa die geographische Länge und Breite auf einer Landkarte. Unser gewohnter Raum hat drei Dimensionen. Flugzeuge übermitteln drei Zahlen - ihre geographische Länge, geographische Breite, und ihre Flughöhe - an die Bodenstation, um ihre Position durchzugeben.

Räume mit einer, zwei, und drei Dimensionen

Die Physik arbeitet oft mit mehr als drei Dimensionen. Die spezielle und die allgemeineRelativitätstheorie beziehen sich auf Ereignisse und benutzen daher vier Dimensionen, um deren Position festzulegen - drei für den Ort im Raum und eine für den Zeitpunkt des Ereignisses. Häufig verwendet man zur Beschreibung eines physikalischen Systems den sechsdimensionalen Phasenraum. In diesem Raum beschreiben drei Zahlen die räumliche Position eines Objekts und drei weitere Zahlen dessen räumliche Geschwindigkeit, zu dass man insgesamt sechs Zahlen zur vollständigen Beschreibung des Zustands eines Objekts braucht. Wenn man diese als sechsdimensionale Position in einem hypothetischen Phasenraum auffasst, lassen sich Berechnungen des Systems leichter und eleganter durchführen als bei Verwendung der drei gewohnten Dimensionen.

Nach der Stringtheorie hat unser Raum nicht drei, sondern zehn Dimensionen. Sieben davon sind allerdings so winzig 'aufgerollt', dass wir sie in der Praxis nicht wahrnehmen. Eine aufgerollte Dimension kann man sich etwa bei einer Position auf der Oberfläche einer sehr langen, sehr dünnen Röhre oder eines Gartenschlauchs vorstellen:
 

Dieses System hat eigentlich zwei Dimensionen. Zur Positionsangabe braucht man neben der Länge entlang der Röhre auch eine Position entlang des Umkreises, die angibt, ob ein Objekt oben, unten, oder seitlich auf der Röhre sitzt. Ist jedoch die Röhre extrem dünn und betrachten wir sie aus sehr weiter Entfernung, genügt eine einzige Zahl, die Längenangabe. Die Umkreisdimension ist im Vergleich zur Länge so klein, dass man sie bei der Betrachtung des Objekts nicht 'sieht'. Die Röhre wird praktisch zur Linie. Nur bei Betrachtung extrem kleiner Größenmaßstäbe muss man die verborgene, aufgerollte Dimension wieder berücksichtigen.

1874 dachte der Mathematiker Georg Cantor darüber nach, ob die Anzahl der Punkte eines Raums von dessen Dimensionen abhängt. Offensichtlich ist die Anzahl der Punkte irgendeiner beliebigen Strecke oder Fläche unendlich. Enthält aber ein Würfel mehr Punkte als eine Fläche, und eine Fläche mehr Punkte als eine Linie? Da eine Fläche aus unendlich vielen Linien besteht und ein Würfel aus unendlich vielen Flächen, ist man geneigt, diese Frage intuitiv mit 'Ja' zu beantworten und sich nicht weiter drum zu kümmern.

Nicht so Cantor, der alles ganz genau wissen wollte. Er überlegte sich, ob es irgendeine Möglichkeit gibt, einer Position in einer Ebene eindeutig eine Position auf einer Linie zuzuordnen. Wenn es für jeden Punkt in der Ebene genau einen Punkt auf der Linie gibt, haben beide offensichtlich die genau gleiche Anzahl von Punkten. Für eine Position auf einer Ebene braucht man wegen deren Zweidimensionalität zwei Zahlen, nennen wir sie x und y, etwa:

      x = 1,97538642
      y = 2,46801357

Zu Cantors eigener Überraschung fand er eine simple Methode, diese beiden Zahlen eindeutig einer einzigen Zahl zuzuordnen, also einer Position z auf einer Linie:

      z = 12,9476583081634527

Er hatte einfach die neue Position wechselweise aus den Ziffern der Zahlen x und y zusammengesetzt. Wenn also x = x1x2x3x4x5. und y = y1y2y3y4y5., dann ist z = x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5. Diese Methode funktioniert offensichtlich für sämtliche möglichen Zahlen x und y. Voraussetzung ist, dass es sich um Reelle Zahlen handelt, d.h. Zahlen mit einer beliebigen Anzahl von Nachkommastellen. Mit einer ähnlichen Methode kann man Punkte eines Raums beliebiger Dimensionalität den Punkten auf einer Linie zuordnen. Für die Zahl von Punkten irgendeines Raums spielt also dessen Dimensionszahl überhaupt keine Rolle.

Dies war ein höchst verblüffendes Ergebnis, das der ohnehin gebeutelten Mathematik des 19. Jahrhunderts wieder einmal einen Schlag versetzte. "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht!", schrieb Cantor dem befreundeten Mathematiker Dedekind, nachdem er diesen Beweis gefunden hatte.


 

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