Berry-Paradox, ein Widerspruch bei der Beschreibung sehr großer Zahlen, der ein grundlegendes Problem bei der Interpretation von Sprache aufwirft.

Das Berry-Paradox benutzt einen ähnlichen Ansatz wie ►Richards Paradox. Offensichtlich lassen sich alle endlichen ►Zahlen mit einer endlichen Anzahl von Buchstaben beschreiben. Die Zahl 13 etwa kann man als "Dreizehn", "Zwölf plus Eins" oder "die nächste ►Primzahl nach der Elf" beschreiben. Sogar für die ziemlich beeindruckende Zahl "Zehn hoch Zehn hoch Hundert" genügen, wie man sieht, höchstens 23 Buchstaben zur vollständigen Beschreibung. Wie viele Buchstaben aber braucht man zur Beschreibung der folgenden Zahl?

Die kleinste mit nicht unter hundert Buchstaben beschreibbare Zahl.

Falls Sie meinen, dass die Antwort "100 Buchstaben" lautet, dann zählen Sie mal die Buchstaben in der obigen kursiven Beschreibung. Offenbar genügen uns bereits 58 Buchstaben zur Beschreibung der kleinsten mit nicht unter hundert Buchstaben beschreibbaren Zahl!

Ein Bibliothekar namens Berry formulierte diesen Widerspruch erstmals gegenüber dem Mathematiker Bertrand Russell, der ihn veröffentlichte. Man könnte vermuten, dass das Paradox nur ein scheinbares ist und auf der Schlampigkeit der natürlichen Sprache beruht. Die obige Zahlbeschreibung macht einen etwas fischigen Eindruck. Vielleicht genügt sie nicht zur eindeutigen Beschreibung einer Zahl? Andererseits liefert die fast gleich lautende Beschreibung "Die kleinste mit nicht unter sechs Buchstaben beschreibbare Zahl" durchaus eine in jeder Sprache eindeutige Zahl, im Deutschen etwa die 7.

Lässt sich das Paradox knacken, wenn wir es in formale Mathematik übersetzen? Definieren wir uns dazu drei mathematische ►Funktionen:

      Bedeutung(Beschreibung)
      Länge(Beschreibung)
      Berry(Zahl)

Die Funktion Bedeutung berechnet für eine deutsche Zahlbeschreibung die beschriebene Zahl. Bedeutung("Sieben") ergibt die Zahl 7, Bedeutung("Größte Primzahl unter Zwanzig") ergibt 19. Bedeutung kann durchaus für verschiedene Beschreibungen die gleiche Zahl ergeben, aber nicht verschiedene Zahlen für die gleiche Beschreibung.

Länge liefert uns einfach die Länge einer Beschreibung in Buchstaben, also Länge("Sieben") = 6. Die dritte Funktion Berry bekommt eine Zahl n und liefert die kleinste Zahl, deren Beschreibung mindestens n Buchstaben erfordert. Mit anderen Worten: Die kleinste Zahl, die größer ist als alle Zahlen mit Beschreibungen kürzer als n, oder in mathematischer Schreibweise

      Berry(n) = 1 + max(Bedeutung(s): Länge(s) < n)*

Wie wir gesehen haben, ist Berry(6) = 7, denn die kleinste im Deutschen nicht unter 6 Buchstaben beschreibbare Zahl ist 7. Da es viele Arten geben kann, die gleiche Zahl zu beschreiben, lässt sich Berry(n) für höhere n nicht mehr so leicht ausrechnen. Man kann sich jedoch leicht vorstellen, dass die Berry-Funktion, ganz ähnlich wie die ►Ackermann-Funktion, bei höheren n rasch über alle Grenzen wächst und rasend schnell dem Unendlichen zustrebt.

Dennoch scheint sie sauber definiert zu sein, denn es gibt nur eine endliche Anzahl von Beschreibungen unterhalb einer Länge n. Allerdings ist die Berry-Definition nur gültig, wenn auch Bedeutung(s) für sämtliche dieser Beschreibungen s unterhalb der Länge n definiert ist, und umgekehrt. Gibt es also vielleicht eine Beschreibung s, für die Bedeutung(s) undefiniert ist?

Aus der obigen Berry-Definition lässt sich sehen, dass es keine Beschreibung s kürzer als n geben kann, für die gilt

      Berry(n) = Bedeutung(s)

d.h. für jedes beliebige s und n ist entweder

      Länge(s) ≥ n, oder

      Bedeutung(s)Berry(n), oder

      Berry(n) oder Bedeutung(s) ist undefiniert.

Schauen wir uns aber einmal folgendes an:

      Länge("Berry(Hundert)") = 14

      Bedeutung("Berry(Hundert)") = Berry(100)

Beide Gleichungen zusammen widersprechen unserer obigen Überlegung: Da die Länge der Beschreibung "Berry(Hundert)" eindeutig kleiner als 100 ist, muss entweder Bedeutung("Berry(Hundert)") etwas anderes ergeben als die Zahl Berry(100). Oder Bedeutung oder Berry sind für einige Beschreibungen mit weniger als 100 Buchstaben undefiniert. Sogar wenn wir abstruserweise annehmen, dass

      Bedeutung("Berry(Hundert)") Berry(100)

bekommen wir Schwierigkeiten, Berry(100) konkret auszurechnen. Dazu müssen wir nämlich den Wert von Bedeutung(s) für alle s kleiner als 100 Buchstaben kennen. Also auch von Bedeutung("Berry(Hundert)"). Dafür wiederum müssen wir sicherlich Berry(100) kennen. Die Berry-Funktion ist somit nicht vollständig definiert. Um ihren Wert zu berechnen, muss ihr Wert bereits bekannt sein. Damit haben wir Berrys Zahlendefinition als unvollständig entlarvt und das Paradox aufgelöst.

Der Satz "Die kleinste mit nicht unter hundert Buchstaben beschreibbare Zahl" genügt also nicht, um eine Zahl eindeutig zu beschreiben. Und dies, obwohl es nur endlich viele Zahlen gibt, die sich mit unter hundert Buchstaben eindeutig beschreiben lassen. Aus Berrys Paradox lässt sich folgern, dass es nicht möglich ist, einen formalen Algorithmus - wie oben unsere Funktion Bedeutung - zur vollständigen Interpretation einer beliebigen Sprache anzugeben. Dies hat unter anderem wesentliche Auswirkungen auf Forschungen zur künstlichen Intelligenz von Maschinen (s. ►Seele).

Dieses als scheinbar unschuldige sprachliche Kuriosität daherkommende Paradox hat es somit wahrlich in sich. Das Berry-Paradox weist Parallelen zu Turings Halteproblem (s. ►Endlosschleife) und Gödels Unvollständigkeitssatz (s. ►Kontinuumshypothese) auf. In der Tat lässt sich Gödels Unvollständigkeitssatz vollständig mit Hilfe des Berry-Paradoxons beweisen**.


* max(a: b) = Größtes aller a, für die b gilt.

** S. hierzu G. J. Chaitin, Lecture given 27 October 1993 at the University of New Mexico, http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/unm2.html

© Johann Christian Lotter   ■  Unendlichkeit  ■  BücherLinks  ■  Forum