Banach-Tarski-Paradox, Verdopplung eines Volumens durch bloße Zerlegung in unendlich filigrane Teile.

Eine Kugel kann so zerlegt werden, dass sich ihre Teile wieder lückenlos zu zwei massiven Kugeln zusammensetzen lassen, von denen jede gleich groß ist wie die ursprüngliche. Hierzu muss man lediglich eine endliche Anzahl von Drehungen und Verschiebungen der Kugelteile ausführen. Dies ist vermutlich eine der verblüffendsten Aussagen der modernen Mathematik. Die polnischen Mathematiker Stefan Banach und Alfred Tarski bewiesen bereits 1924 diese Verdopplung des Volumens durch bloßes Umgruppieren von Teilen.

Das Paradox basiert auf der Repräsentation eines Volumens durch eine unendliche Menge von Punkten. Es genügt sogar, die Kugel in endlich viele Teile zu zerlegen. Die Kugelteile müssen lediglich ausreichend komplex geformt sein, etwa wie ein unendlich poröser Schwamm oder eine unendlich feine Staubwolke. Der Beweis (für Interessierte unten unter den Weblinks zu finden) gilt für Räume beliebig hoher Dimension, allerdings nicht für die zweidimensionale Ebene. Er gilt auch für beliebig geformte Körper, etwa für die Form eines Goldbarrens. Und da man die Operation beliebig oft anwenden darf, lassen sich beliebig viele Kopien erzeugen. Leider sind reale Gegenstände nicht aus unendlich vielen Punkten, sondern aus endlich vielen Atomen aufgebaut. Daher ist es bislang noch niemandem gelungen, wirkliche Goldbarren in solch filigrane Teile zu zerlegen und auf diese Weise zu vervielfachen.


Weblinks zum Thema

■ Wie macht man 2 aus 1?

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