Abzählbarkeit ist die Eigenschaft einer unendlichen Menge*, ebenso viele Elemente zu haben wie ►Natürliche Zahlen existieren.

Abzählbarkeit einer Menge bedeutet, dass sich ihre Elemente zählen lassen - zumindest prinzipiell. Endliche Mengen sind offensichtlich immer zählbar. Die Menge der Sandkörner in der Sahara ist groß, trotzdem kann man sie prinzipiell zählen (es sind etwa 1.224.000.000.000.000.000.000.000.000 Sandkörner). Wie sieht es aber mit Mengen mit unendlich vielen Elementen aus?

Das einfachste Beispiel dafür ist die Menge aller Natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4... . Diese Menge ist unendlich, denn es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen**. Zugleich ist diese Menge abzählbar, da sie ja die Abzählbarkeit selbst definiert, siehe oben.  Gibt es noch andere abzählbare Mengen? Ist etwa jede unendliche Menge abzählbar? Der Mathematiker ►Georg Cantor war der erste, der sich im 19. Jahrhundert für diese Fragen interessierte und der verblüffende und auf den ersten Blick paradoxe Eigenschaften des Unendlichen entdeckte. Er war es auch, der die Abzählbarkeit als Eigenschaft bestimmter unendlicher Mengen definierte.

Was ist Zählen?

Zunächst machen wir die Abzählbarkeit etwas anschaulicher. Denn das Zählen von etwas Unendlichem lässt sich nur schwer vorstellen, zumal es eine unendlich lange Zeit dauert. Was bedeutet es eigentlich, wenn wir Dinge zählen?

Woher wissen wir, dass es sich hier um fünf Würfel handelt? Wenn Sie beim Zählen nacheinander auf die einzelnen Würfel deuten und dabei "Eins, zwei, drei, vier, fünf" vor sich hinmurmeln, gehen Sie mathematisch korrekt vor. Wir versehen beim Zählen die Gegenstände mit fortlaufenden Natürlichen Zahlen. Die Anzahl entspricht dann der zuletzt vergebenen Zahl, hier also der "fünf". Zählen kann man Elemente einer Menge also genau dann, wenn sie sich - wie unterschiedlich sie auch sein mögen - mit fortlaufenden Nummern versehen lassen.

Wenn wir derart eine unendliche Menge durchnummerieren können, haben wir deren Abzählbarkeit bewiesen. Es kommt dabei nicht darauf an, jedem Element tatsächlich eine Zahl zuzuweisen, denn das kann unendlich lange dauern. Es reicht, die theoretische Möglichkeit zu beweisen. Denn dann kann man auf eindeutige Weise jedem Element eine Natürliche Zahl zuordnen und umgekehrt jeder Natürlichen Zahl ein Element. Folglich hat die Menge ebenso viele Elemente wie Natürliche Zahlen existieren.

Wie viele gerade Zahlen gibt es?

Bewaffnet mit dieser Erkenntnis können wir jetzt weitere Mengen auf ihre Abzählbarkeit hin untersuchen. Ist die Menge aller geraden Zahlen, also 2, 4, 6, 8 ... abzählbar oder nicht? Zunächst ist diese Menge offensichtlich unendlich, denn es gibt keine größte gerade Zahl. Hat sie aber gleich viele Elemente wie die Menge der Natürlichen Zahlen? Dazu gibt es Kontra- und Pro-Argumente:

Kontra: Es gibt nur halb so viele gerade Zahlen wie Natürliche Zahlen. Also kann diese Menge auch nur halb so viele Elemente haben wie die Menge der Natürlichen Zahlen und ist folglich nicht abzählbar.

Pro: Jeder Natürlichen Zahl, egal wie groß sie ist, kann man eine gerade Zahl zuordnen, nämlich ihr Doppeltes. Umgekehrt kann man auch jeder geraden Zahl genau eine Natürliche Zahl zuordnen, nämlich ihre Hälfte. Es gibt also genau gleich viele gerade wie Natürliche Zahlen.

Das lässt sich zwar nicht widerlegen, widerspricht aber unserer Intuition. Die geraden Zahlen erscheinen uns 'weniger', weil viele Natürliche Zahlen (sogar unendlich viele) in ihnen nicht vorkommen. Unsere intuitive Auffassung, das Ganze (die Natürlichen Zahlen) sei immer größer als eines seiner Teile (die geraden Zahlen), stimmt im Bereich der Unendlichkeit nicht mehr. Sogar relativ klein erscheinende Mengen, etwa alle Zahlen, die mit der Ziffer 7 beginnen, alle Quadratzahlen oder alle Schnapszahlen (Zahlen mit gleichen Ziffern) enthalten genauso viele Zahlen wie die Menge der Natürlichen Zahlen.

Das ist eins der Paradoxa des Unendlichen. Generell ist jede beliebige Teilmenge der Natürlichen Zahlen abzählbar. Sie muss nur unendlich sein. Dies wird in der modernen Mengenlehre sogar zur Definition unendlicher Mengen benutzt: Eine Menge heißt genau dann 'unendlich', wenn sie gleich viele Elemente enthält wie eine echte Teilmenge ihrer selbst.

Wie viele Brüche gibt es?

Nun gibt es aber auch Mengen, die uns nicht kleiner, sondern größer vorkommen als die Menge der Natürlichen Zahlen, nämlich zum Beispiel die Menge der Brüche. Ist diese Menge abzählbar?

Kontra: Natürlich nicht. Es gibt ja viel mehr Brüche als Natürliche Zahlen. Zwischen zwei Natürlichen Zahlen, etwa 1 und 2, liegen unendlich viele Brüche: 3/2,  4/3,  5/4,  6/5,  7/6... . Sogar zwischen zwei beliebigen Brüchen gibt es unendlich viele weitere Brüche.

Dies ist zwar noch kein Beweis, aber ein gutes Argument. Auch der Abzählbarkeitspapst ►Georg Cantor hielt die Brüche eine Zeitlang für nicht abzählbar, während er nach einem Beweis suchte. Als er einen fand, brachte der zu seiner eigenen Verwunderung ein ganz anderes Ergebnis als erwartet.Zur Untersuchung der Abzählbarkeit ordnete Cantor alle Brüche in einer sich nach rechts und unten unendlich fortsetzenden Tabelle an:

1/1

2/1

 

3/1

4/1

 

5/1

6/1

 

7/1

8/1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

2/2

 

3/2

 

4/2

 

5/2

 

6/2

 

7/2

 

8/2 .

 

 

 

 

 

 

 

1/3

 

2/3

 

3/3

 

4/3

 

5/3

 

6/3

 

7/3

 

8/3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

1/4

 

2/4

 

3/4

 

4/4

 

5/4

 

6/4

 

7/4

 

8/4 .

 

 

 

 

 

 

 

1/5

 

2/5

 

3/5

 

4/5

 

5/5

 

6/5

 

7/5

 

8/5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

1/6

 

2/6

 

3/6

 

4/6

 

5/6

 

6/6

 

7/6

 

8/6 .

 

 

 

 

 

 

 

1/7

 

2/7

 

3/7

 

4/7

 

5/7

 

6/7

 

7/7

 

8/7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

1/8

 

2/8

 

3/8

 

4/8

 

5/8

 

6/8

 

7/8

 

8/8 .

 

 

 

 

 

 

 

1/9

 

2/9

 

3/9

 

4/9

 

5/9

 

6/9

 

7/9

 

8/9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.  .

Diese Tabelle, ins Unendliche fortgesetzt, umfasst offensichtlich sämtliche existierende Brüche, denn Zähler und Nenner können alle Zahlenwerte annehmen. Nun bildete Cantor eine diagonale Zahlenfolge, wie oben durch die Pfeile angedeutet. Die Zahlenfolge beginnt mit dem Bruch 1/1 und verläuft entlang der Pfeilrichtung. Kürzbare Brüche werden gekürzt und, falls ihr Wert in der Folge bereits vorkommt, übersprungen. Wir bekommen somit die folgende Zahlenliste:

1, 2,  1/2,  1/3,  3, 4,  3/2,  2/3,  1/4,  1/5,  5, 6,  5/2,  4/3, .

Zahlenlisten sind aber immer abzählbar. Indem man die Listenplätze durchnummeriert, lässt sich jedem Bruch genau eine Natürliche Zahl zuordnen und umgekehrt. Damit ist beweisen, dass die Brüche abzählbar sind. Obwohl zwischen zwei Natürlichen Zahlen unendlich viele Brüche liegen, gibt es genau gleich viele Brüche wie Natürliche Zahlen. Dies ist ein weiteres Beispiel dafür, wie der Umgang mit dem Unendlichen unsere Intuition in die Irre führt.

Ist etwa jede unendliche Zahlenmenge abzählbar? Cantor betrachtete als Nächstes eine Menge, die noch größer zu sein scheint als die der Brüche, nämlich die der Reellen Zahlen. Das sind Zahlen mit beliebigen Nachkommastellen, auch unendlich vielen, wie etwa die Kreiszahl Pi (3,14159.). Brüche dagegen haben nur endlich viele Nachkommastellen (z.B. 1/4 = 0,25) oder eine Folge sich immer wiederholender Nachkommastellen (z.B. 1/3 = 0,333. oder 1/7 = 0,142857142857142857.)***.

Mehr als unendlich?

Vorsichtig geworden durch die Abzählbarkeit der Brüche, nahm Cantor zuerst an, auch die Reellen Zahlen ließen sich auf irgendeine noch unbekannte Weise nummerieren. Dann müsste man sie ähnlich wie die Brüche in einer Zahlenliste anordnen können. Sehen wir uns ein Beispiel für eine solche Liste an (wir betrachten vorerst der Einfachheit halber nur die Zahlen zwischen 0 und 1):

0, 0 0 0 0 0 0 .
0, 1 2 3 4 5 6 .
0, 7 7 1 9 2 8 .
0, 4 3 6 7 8 9 .
0, 9 2 2 3 3 8 .
0, 0 2 6 7 8 9 .
0, 5 8 7 0 9 3 .
........................
usw.

Die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle. Wichtig ist nur, dass sämtliche Reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in der obigen Liste enthalten sind, um die Abzählbarkeit dieses Zahlenbereichs zu erfüllen. Cantor betrachtete nun eine Zahl, die sich aus der Diagonale der Liste ergibt. Dazu nahm er die erste Stelle der Zahl von der ersten Zahl der Liste, die zweite von der zweiten, die dritte von der dritten usw. (oben unterstrichen dargestellt). Das ergibt die Zahl:

                                    0, 1 7 6 3 8 3 .

Nun veränderte er jede einzelne Nachkommastelle dieser Zahl, indem er zu jeder Ziffer den Wert 1 addierte:

                                    0, 2 8 7 4 9 4 .

Diese Zahl ist zweifellos wieder eine Reelle Zahl zwischen 0 und 1, ist aber nicht in der Liste enthalten! Denn sie unterscheidet sich von jeder einzelnen Zahl der Liste zumindest im Wert der aus dieser Zahl übernommenen Nachkommastelle, die ja durch Addition von 1 verändert wurde. Dies gilt offensichtlich für alle Listen Reeller Zahlen, egal in welcher Reihenfolge wir diese aufstellen. Also kann keine vorstellbare Zahlenliste je alle Reellen Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten. Und die Menge sämtlicher Reellen Zahlen lässt sich damit erst recht nicht in einer Liste darstellen.

Die nächste Stufe der Unendlichkeit

Hiermit hatte Cantor bewiesen, dass die Reellen Zahlen nicht nummerierbar und folglich nicht abzählbar sind. Sie haben eine 'höhere Unendlichkeit' als die Natürlichen Zahlen oder die Brüche. Die verschiedenen Stufen der Unendlichkeit spielen eine wichtige Rolle bei der Betrachtung der ►Kardinalzahlen.


* Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen, wie etwa Zahlen. Eine unendliche Menge ist eine Zusammenfassung unendlich vieler Elemente. Natürliche Zahlen sind positive Zahlen ohne Nachkommastellen.

** Wäre sie endlich, gäbe es in ihr irgendeine größte Zahl x. Jedoch ist x+1 ebenfalls eine Natürliche Zahl und größer als x. Die Menge aller Natürlichen Zahlen kann also nicht endlich sein.

*** Das kann man sich folgendermaßen klarmachen. Eine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen (wie 0,123) ist offensichtlich immer ein Bruch (123/1000). Nehmen wir dagegen eine Zahl z mit periodischen, d.h sich unendlich wiederholenden Nachkommastellen, etwa z = 0,123123123. Dann ist 999∙z = 1000∙z - z = 123,123123123. - 0,1231231213. = 123 und folglich z = 123/999. Also ist jede Zahl mit endlich vielen oder sich unendlich wiederholenden Nachkommastellen ein Bruch.

Weblinks zum Thema

■ Mathematik.de: Abzählbar vs. Überabzählbar
■ Wikipedia: Abzählbarkeit
■ Die Natur der Unendlichkeit

© Johann Christian Lotter   ■  Unendlichkeit  ■  BücherLinks  ■  Forum